3. В прямоугольном ΔABC с прямым углом C, ∠A=30°, гипотенуза AB=16 см, катет AC=9 см. Найти катет BC и периметр ΔABC.

В условии есть противоречие: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(AB=16\) см и углом \(A=30^\circ\) катет \(AC\) должен быть равен \(16\cdot\cos30^\circ=8\sqrt3\) см, а не 9 см.

Если использовать заданные длины \(AB=16\) см и \(AC=9\) см:

По теореме Пифагора:

\(BC^2=AB^2-AC^2=16^2-9^2=256-81=175\),

\(BC=\sqrt{175}=5\sqrt7\) см.

Периметр:

\(P=AB+AC+BC=16+9+5\sqrt7=25+5\sqrt7\) см.

Ответ по заданным длинам: \(BC=5\sqrt7\) см, \(P=25+5\sqrt7\) см.

Если использовать угол \(A=30^\circ\) и гипотенузу \(AB=16\) см, то \(BC=8\) см, \(AC=8\sqrt3\) см, а \(P=24+8\sqrt3\) см.