3. В прямоугольном ∆ АВС с прямым углом С ∠A=30*, гипотенуза АВ=16см, катет АС=9см. Найти катет ВС и периметр ДАВС.

Решение:

• В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с \( \angle C = 90^\circ \) и \( \angle A = 30^\circ \), катет \(BC\), лежащий напротив угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
• \( BC = \frac{AB}{2} = \frac{16 \text{ см}}{2} = 8 \text{ см} \).
• Однако, в условии задачи дано, что катет \(AC = 9 \text{ см}\). Это противоречит свойству прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\), где катет, прилежащий к этому углу (\(AC\)), должен быть больше катета, лежащего напротив угла \(30^\circ\) (\(BC\)), и вычисляться как \( AC = AB \cos(30^\circ) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см}\).
• Также, по теореме Пифагора, \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Если \(BC = 8\) см и \(AB = 16\) см, то \( AC^2 = 16^2 - 8^2 = 256 - 64 = 192 \), откуда \( AC = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ см} \).
• Если принять \(AC = 9 \text{ см}\) и \(AB = 16 \text{ см}\), то \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 16^2 - 9^2 = 256 - 81 = 175 \), откуда \( BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \approx 13.23 \text{ см}\). В этом случае \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{16} \), что не соответствует \( \angle A = 30^\circ \).
• Учитывая противоречие в условии, решим задачу, игнорируя \( \angle A = 30^\circ \) и используя данные \( AC = 9 \text{ см} \), \( AB = 16 \text{ см} \) и \( \angle C = 90^\circ \).
• По теореме Пифагора: \( BC^2 = AB^2 - AC^2 = 16^2 - 9^2 = 256 - 81 = 175 \).
• \( BC = \sqrt{175} = \sqrt{25 \cdot 7} = 5\sqrt{7} \text{ см} \).
• Периметр \( \triangle ABC = AB + AC + BC = 16 + 9 + 5\sqrt{7} = 25 + 5\sqrt{7} \text{ см} \).

Ответ: \( BC = 5\sqrt{7} \text{ см} \), Периметр \( \triangle ABC = 25 + 5\sqrt{7} \text{ см} \).