4. Прямые а, в, с пересечены секущей К, а || в, ∠ 1 = 54*, ∠ 2 = 126*. Докажите, что в || с.

Доказательство:

• Дано: прямые \(a\), \(b\), \(c\) пересечены секущей \(K\). \( a \parallel b \), \( \angle 1 = 54^\circ \), \( \angle 2 = 126^\circ \).
• Нужно доказать: \( b \parallel c \).
• Рассмотрим прямые \(a\) и \(c\) и секущую \(K\). Угол \( \angle 1 \) и угол, смежный с \( \angle 2 \) (назовем его \( \angle 3 \)), являются накрест лежащими углами при пересечении прямых \(a\) и \(c\) секущей \(K\).
• Угол \( \angle 3 \) равен \( 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \).
• Так как \( \angle 1 = 54^\circ \) и \( \angle 3 = 54^\circ \), то \( \angle 1 = \angle 3 \).
• Поскольку накрест лежащие углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) равны, то прямые \(a\) и \(c\) параллельны.
• Мы знаем, что \( a ‖ b \) (дано) и мы доказали, что \( a ‖ c \).
• Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, \( b ‖ c \).

Альтернативное доказательство:

• Рассмотрим прямые \(b\) и \(c\) и секущую \(K\).
• Угол \( \angle 2 \) и внутренний накрест лежащий угол при пересечении прямых \(b\) и \(c\) секущей \(K\) (назовем его \( \angle 4 \)) являются односторонними углами. Их сумма должна быть \(180^\circ\), если \(b ‖ c\).
• Угол \( \angle 1 \) и угол, соответствующий \( \angle 2 \) (назовем его \( \angle 5 \)), являются соответственными углами при пересечении прямых \(a\) и \(b\) секущей \(K\). Так как \(a ‖ b \), то \( \angle 1 = \angle 5 = 54^\circ \).
• Угол \( \angle 2 \) и \( \angle 5 \) являются смежными, поэтому \( \angle 2 + \angle 5 = 180^\circ \).
• \( 126^\circ + 54^\circ = 180^\circ \). Это верно.
• Теперь рассмотрим углы при прямых \(b\) и \(c\). Угол \( \angle 2 = 126^\circ \). Соответственный угол для \( \angle 2 \) при пересечении прямых \(b\) и \(c\) секущей \(K\) (назовем его \( \angle 6 \)) должен быть равен \(126^\circ\) для параллельности.
• Угол \( \angle 1 = 54^\circ \). Накрест лежащий угол для \( \angle 1 \) при пересечении прямых \(b\) и \(c\) секущей \(K\) (назовем его \( \angle 7 \)) должен быть равен \(54^\circ\) для параллельности.
• Рассмотрим прямую \(a\) и секущую \(K\). Угол \( \angle 1 = 54^\circ \).
• Рассмотрим прямую \(b\) и секущую \(K\). Угол, смежный с \( \angle 2 \), равен \( 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \). Обозначим этот угол как \( \alpha \). \( \alpha = 54^\circ \).
• Так как \( \angle 1 = 54^\circ \) и \( \alpha = 54^\circ \), и эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых \(a\) и \(b\) секущей \(K\), то \( a ‖ b \). Это дано.
• Теперь рассмотрим прямые \(b\) и \(c\) и секущую \(K\).
• Угол \( \angle 2 = 126^\circ \). Угол \( \angle 1 = 54^\circ \).
• Угол, смежный с \( \angle 1 \) (назовем его \( \angle 8 \)), равен \( 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ \).
• Угол \( \angle 8 \) и угол \( \angle 2 \) являются односторонними углами при пересечении прямых \(b\) и \(c\) секущей \(K\).
• Так как \( \angle 8 + \angle 2 = 126^\circ + 126^\circ = 252^\circ \), это не работает.
• Вернемся к первому доказательству.
• Угол \( \angle 1 = 54^\circ \).
• Угол, смежный с \( \angle 2 \) (обозначим его \( \angle 3 \)), равен \( 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ \).
• Углы \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими при пересечении прямых \(a\) и \(c\) секущей \(K\).
• Так как \( \angle 1 = \angle 3 \), то \( a ‖ c \).
• По условию \( a ‖ b \).
• Так как \( a ‖ b \) и \( a ‖ c \), то \( b ‖ c \).

Доказано.