3. В прямоугольном треугольнике ABC AC = BC. Две стороны квадрата CKPF лежат на катетах треугольника ABC, а вершина P принадлежит гипотенузе AB. Найдите катет треугольника, если CK = 4 см.

Так как AC = BC, треугольник равнобедренный прямоугольный с прямым углом при C. Стороны квадрата CKPF, выходящие из C, лежат на катетах, поэтому CK = CF = 4 см. Вершина P квадрата находится на гипотенузе.

Введём координаты с началом в C и осями вдоль катетов. Тогда K = (4; 0), F = (0; 4), P = (4; 4). Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом a задаётся уравнением x + y = a. Подстановка координат P даёт a = 4 + 4 = 8 см.

Ответ: 8 см.