4. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Квадрат со стороной 5 см построен так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах данного треугольника. Найдите гипотенузу треугольника.

Пусть катет равен a. Расположим катеты вдоль координатных осей: гипотенуза имеет уравнение x + y = a. Две вершины квадрата на гипотенузе образуют его сторону длиной 5 см; противоположная сторона параллельна гипотенузе, а её концы лежат на катетах.

Расстояние между параллельными сторонами квадрата равно 5 см. При смещении прямой x + y = a на это расстояние её уравнение становится x + y = a − 5√2, поскольку расстояние между прямыми x + y = a и x + y = b равно |a − b|/√2. Отрезок этой второй прямой между катетами — сторона квадрата, поэтому его длина равна √2(a − 5√2) = 5.

Отсюда a − 5√2 = 5/√2, то есть a = 5√2 + 5/√2 = 15/√2. Гипотенуза равна a√2 = 15 см.

Ответ: 15 см.