3. В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, проведены высота CH и биссектриса BL. Высота проходит через середину отрезка BL. Найдите ∠BAC.

Обозначим \(AC=a\), \(BC=b\), \(AB=c\), а \(LC=x\). Точка \(L\) лежит на \(AC\).

По теореме о биссектрисе \(\dfrac{AL}{LC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{c}{b}\). Так как \(AL=a-x\), получаем \(\dfrac{a-x}{x}=\dfrac{c}{b}\), откуда \(x=\dfrac{ab}{b+c}\).

Расположим точки так: \(C=(0,0)\), \(A=(a,0)\), \(B=(0,b)\), следовательно, \(L=(x,0)\). Середина \(BL\) имеет координаты \((x/2,b/2)\).

Прямая \(AB\) имеет наклон \(-b/a\), поэтому перпендикулярная ей высота \(CH\), проходящая через начало координат, задаётся уравнением \(y=(a/b)X\). По условию середина \(BL\) лежит на этой высоте, значит, \(b/2=(a/b)(x/2)\), откуда \(x=b^2/a\).

Приравнивая выражения для \(x\), получаем \(\dfrac{ab}{b+c}=\dfrac{b^2}{a}\), то есть \(a^2=b(b+c)=b^2+bc\). По теореме Пифагора \(c^2=a^2+b^2\). Если \(t=a/b\), то \(t^2=1+\sqrt{t^2+1}\). Обозначив \(u=t^2\) и возведя равенство в квадрат, получаем \((u-1)^2=u+1\), откуда \(u=3\). Следовательно, \(a/b=\sqrt3\).

Поэтому \(\tan\angle BAC=BC/AC=1/\sqrt3\), значит, \(\angle BAC=30^\circ\).

Ответ: \(30^\circ\).