4. В записях двух чисел цифры заменили буквами: одинаковые цифры — одинаковыми буквами, разные — разными. Получились пятизначное число КОМОК и трёхзначное число ОКО. Известно, что КОМОК делится на 36, а ОКО — на 4. Найдите все возможные пары исходных чисел.

Для делимости на 4 важны последние две цифры. Поэтому число КОМОК требует, чтобы число ОК делилось на 4, а число ОКО — чтобы на 4 делилось число КО. В обозначениях цифр это даёт:

\(10О+К\equiv0\pmod4\), \(10К+О\equiv0\pmod4\).

Из этих сравнений следует, что обе цифры чётные, а затем \(К\equiv0\pmod4\) и \(О\equiv0\pmod4\). Так как К и О — первые цифры чисел, они не равны нулю. Разные буквы означают разные цифры, поэтому \((К,О)=(4,8)\) или \((8,4)\).

Делимость КОМОК на 36 требует делимости на 9. Сумма его цифр равна \(2К+2О+М\). В обоих случаях \(2К+2О=24\), поэтому \(24+М\) должно делиться на 9. Единственная подходящая цифра — \(М=3\).

Получаем пары \((48384,848)\) и \((84348,484)\). Проверка: \(48384=36\cdot1344\), \(84348=36\cdot2343\), а \(848\) и \(484\) делятся на 4.

Ответ: (48384, 848) и (84348, 484).