5. Доска 8 × 8 раскрашена в шахматном порядке. За одну операцию разрешается поменять местами любые две строки или любые два столбца. Сколько различных раскрасок можно получить? Раскраски считаются одинаковыми только при совпадении цвета в каждой клетке; повороты и отражения доски не учитываются как совпадения.

Перестановками строк можно выбрать, какие 4 строки получат один из двух шахматных узоров строк; оставшиеся 4 получат противоположный узор. Это даёт \(\binom84=70\) вариантов. Независимо от этого перестановками столбцов можно выбрать расположение одного из двух чередующихся узоров столбцов — также \(\binom84=70\) вариантов.

Каждая пара таких выборов задаёт раскраску, но одна раскраска учитывается дважды: если одновременно заменить выбранные 4 строки на противоположные 4 и выбранные 4 столбца на противоположные 4, цвета клеток не изменятся. Других совпадений нет, поскольку по раскраске однозначно определяются два класса одинаковых строк и два класса одинаковых столбцов, с точностью до одновременной замены обоих классов на противоположные.

Следовательно, число раскрасок равно \(\dfrac{70\cdot70}{2}=2450\).

Ответ: 2450 различных раскрасок.