3. В прямоугольной трапеции АВСД боковая сторона равна АВ=10 см, большее основание АД=18 см, ∠Д=45°. Найдите площадь трапеции.

Задание 3. Площадь прямоугольной трапеции

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD.
• Боковая сторона \( AB = 10 \) см (перпендикулярна основаниям).
• Большее основание \( AD = 18 \) см.
• Угол \( ∠ D = 45^° \).

Найти: Площадь трапеции \( S_{ABCD} \).

Решение:

1. В прямоугольной трапеции основания параллельны \( BC || AD \) и \( AB ⊥ AD \), \( AB ⊥ BC \).
2. Проведем высоту \( CH \) из вершины \( C \) к основанию \( AD \). Так как \( AB || CH \) и \( BC || HD \), то \( BCHK \) — прямоугольник. Следовательно, \( BC = AH \) и \( AB = CH \).
3. Так как \( CH \) — высота, то \( CH = AB = 10 \) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CHD \). \( ∠ D = 45^° \) и \( ∠ CHD = 90^° \), значит, \( ∠ DCH = 180^° - 90^° - 45^° = 45^° \).
5. Следовательно, треугольник \( CHD \) равнобедренный, и \( HD = CH = 10 \) см.
6. Найдем меньшее основание \( BC \). Так как \( AD = AH + HD \) и \( AH = BC \), то \( BC = AD - HD = 18 - 10 = 8 \) см.
7. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \times AB \]
8. Подставим значения: \[ S_{ABCD} = \frac{8 + 18}{2} \times 10 = \frac{26}{2} \times 10 = 13 \times 10 = 130 \] см².

Ответ: Площадь трапеции равна 130 см².