6. Дан прямоугольный треугольник ADC, у которого ∠D-прямой, катет AD=3 см и ∠DAC=30°. Найдите: а) остальные стороны ДАРС б) площадь AADC

Задание 6. Прямоугольный треугольник ADC

Дано:

• Прямоугольный треугольник ADC.
• \( ∠ D = 90^° \).
• Катет \( AD = 3 \) см.
• \( ∠ DAC = 30^° \).

Найти:

а) Остальные стороны \( AC \) и \( DC \).

б) Площадь \( S_{ADC} \).

Решение:

а) Нахождение сторон AC и DC:

1. В прямоугольном треугольнике ADC:
2. \( ∠ C = 180^° - 90^° - 30^° = 60^° \).
3. Используем тригонометрические соотношения:
4. Катет \( DC \) прилежащий к углу \( 30^° \) относится к гипотенузе \( AC \) как \( \text{cos}(30^°) \): \[ \text{cos}(30^°) = \frac{AD}{AC} \]
5. \( \frac{√{3}}{2} = \frac{3}{AC} \)
6. \( AC = \frac{3 \times 2}{√{3}} = \frac{6}{√{3}} = \frac{6√{3}}{3} = 2√{3} \) см.
7. Катет \( DC \) противолежащий к углу \( 30^° \) относится к катету \( AD \) как \( \text{tg}(30^°) \): \[ \text{tg}(30^°) = \frac{DC}{AD} \]
8. \( \frac{1}{√{3}} = \frac{DC}{3} \)
9. \( DC = \frac{3}{√{3}} = \frac{3√{3}}{3} = √{3} \) см.

б) Нахождение площади AADC:

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times DC \]
2. Подставим значения: \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \times 3 \times √{3} = \frac{3√{3}}{2} \] см².

Ответ:

а) Сторона \( AC = 2√{3} \) см, сторона \( DC = √{3} \) см.

б) Площадь \( S_{ADC} = \frac{3√{3}}{2} \) см².