3. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь трапеции.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, отсекает прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 45°. Значит, этот треугольник равнобедренный, и высота равна половине разности оснований трапеции.

Пусть основания трапеции \(a = 4\) и \(b = 8\). Тогда высота \(h = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\(S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2 = \frac{12}{2} \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12\)

Ответ: Площадь трапеции равна 12.