3. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.

Пусть \(\angle DAB=\alpha\). В ромбе противоположные углы равны, поэтому \(\angle C=\alpha\), а диагональ \(AC\) биссектрисой угла \(C\) не является автоматически; однако треугольник \(ADC\) равнобедренный, так как \(AD=DC\).

Обозначим \(\angle DCA=\beta\). В равнобедренном треугольнике \(ADC\) \(\angle DAC=\beta\), поэтому \(\alpha=\angle D=180^\circ-2\beta\). Биссектриса угла \(DCA\) образует с \(DC\,\) угол \(\beta/2\). По условию она перпендикулярна \(AD\), откуда угол между ней и \(AD\) равен \(90^\circ\). Учитывая, что угол между \(AD\) и \(DC\) равен \(180^\circ-\alpha=2\beta\), получаем \(2\beta-\beta/2=90^\circ\), следовательно, \(\beta=60^\circ\).

Тогда \(\alpha=180^\circ-2\cdot60^\circ=60^\circ\), а соседний угол ромба равен \(120^\circ\).

Ответ: углы ромба равны \(60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).