5. Биссектриса угла C параллелограмма ABCD пересекает сторону AD в точке M, а продолжение стороны AB за точку A — в точке N. Найдите периметр параллелограмма, если AN = 4, DM = 3.

Пусть \(AB=a\), \(AD=b\), а \(\angle DAB=\theta\). Точка \(N\) лежит на продолжении \(AB\) за \(A\), причём \(AN=4\). Биссектриса угла \(C\) параллельна биссектрисе угла между направлениями \(AB\) и \(AD\); при пересечении прямой \(AB\) она проходит через точку на продолжении за \(A\), удалённую от \(A\) на \(AD=b\). Следовательно, \(b=AN=4\).

Так как \(DM=3\), то \(AM=AD-DM=4-3=1\). В треугольнике, образованном сторонами, параллельными \(AB\) и \(AD\), биссектриса пересекает сторону \(AD\) в точке, для которой \(AM=AB\); значит, \(AB=1\).

Тогда периметр параллелограмма \(P=2(AB+AD)=2(1+4)=10\).

Ответ: 10.