3. В тетраэдре ABCD точки M, N и L — середины рёбер BA, BD и BC. а) Докажите, что плоскость (MNL) параллельна плоскости (ADC). б) Найдите площадь △MNL, если площадь △ADC равна 64 см².

а) В треугольнике BAD точки M и N — середины BA и BD, поэтому по теореме о средней линии MN ∥ AD. В треугольнике BDC точки N и L — середины BD и BC, поэтому NL ∥ DC. Прямые MN и NL пересекаются в плоскости (MNL), а прямые AD и DC пересекаются в плоскости (ADC). Поскольку две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой, плоскости параллельны.

б) Гомотетия с центром B и коэффициентом \(\frac12\) переводит A, D, C соответственно в M, N, L. Поэтому треугольники MNL и ADC подобны с коэффициентом \(\frac12\), а отношение их площадей равно квадрату коэффициента:

\(S_{MNL}=64\cdot\left(\frac12\right)^2=16\text{ см}^2\).

Ответ: а) (MNL) ∥ (ADC); б) 16 см².