4. По данным рисунка построить: а) точку пересечения прямой EF с плоскостями ABC и A₁B₁C₁; б) линию пересечения плоскостей ADF и EFD.

а) На рисунке E принадлежит ребру BB₁, а F — ребру CC₁. Ребро BB₁ и ребро CC₁ лежат в боковой грани BCC₁B₁. Поэтому прямая EF лежит в плоскости этой грани. Её пересечение с плоскостью ABC находится на прямой BC: обозначим X = EF ∩ BC. Пересечение с плоскостью A₁B₁C₁ находится на прямой B₁C₁: обозначим Y = EF ∩ B₁C₁. Если точка пересечения лежит на продолжении ребра, соответствующую прямую BC или B₁C₁ нужно продолжить.

б) Точки D и F принадлежат обеим плоскостям ADF и EFD. Следовательно, их линия пересечения — прямая DF.

Ответ: а) точки X = EF ∩ BC и Y = EF ∩ B₁C₁; б) прямая DF.