№ 3. В трапеции ABCD AD ∥ BC, угол A = 90°, угол C = 135°, AB = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если известно, что её диагональ перпендикулярна боковой стороне.

Высота трапеции равна \(AB=2\) см. Так как угол C равен 135°, острый угол между боковой стороной CD и основанием равен 45°. Следовательно, горизонтальное смещение от D до C равно высоте: 2 см.

Обозначим \(BC=x\). Тогда большее основание \(AD=x+2\). По условию диагональ перпендикулярна боковой стороне. Из диагоналей только AC может быть перпендикулярна CD: при координатах \(A(0,0)\), \(B(0,2)\), \(C(x,2)\), \(D(x+2,0)\) наклон AC равен \(2/x\), а наклон CD равен \(-1\). Перпендикулярность даёт \((2/x)(-1)=-1\), откуда \(x=2\).

Значит, основания равны 2 см и 4 см. Средняя линия: \(\frac{2+4}{2}=3\) см.

Ответ: средняя линия равна 3 см.