3. В трапеции ABCD основания BC, AD, диагональ BD = 18 см, ∠BAD = 60° и боковая сторона AB перпендикулярна диагонали BD. Найдите высоту трапеции. Варианты ответов: 1) 3; 2) 9; 3) 6; 4) 12; 5) невозможно найти.

Так как \(AB\perp BD\), треугольник ABD прямоугольный, а \(AD\) — его гипотенуза. Угол при A равен 60°, поэтому угол при D равен 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30°, равен половине гипотенузы: \(AB=BD/2=9\) см.

Высота трапеции равна перпендикулярной к AD составляющей AB: \(h=AB\sin 60^\circ=9\cdot\sqrt{3}/2\). Однако по прямоугольному треугольнику с углами 30°, 60°, 90° при BD = 18 имеем \(AB=18/\sqrt{3}=6\sqrt{3}\), поэтому \(h=6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}/2=9\) см.

Ответ: 9 см, вариант 2.