3. В трапеции ABCD точки M и N — середины боковых сторон AB и CD; MN пересекает диагональ AC в точке O. Доказать, что AO = CO.

Поскольку M и N — середины боковых сторон трапеции, MN является её средней линией, поэтому MN ∥ AD ∥ BC.

Рассмотрим треугольник ABC. Точка M — середина AB, а прямая через M, параллельная BC, пересекает AC в O. По теореме о средней линии треугольника O — середина AC.

Значит, AO = CO.