3. В трапеции АВСD углы А и В прямые. Диагональ АС — биссектриса угла А и равна 6 см. Найдите площадь трапеции, если угол CDA равен 60°.

Задание 3. Площадь трапеции

Дано:

• Трапеция АВСD.
• \( ∠ A = 90^\circ \), \( ∠ B = 90^\circ \).
• Диагональ \( AC = 6 \) см.
• \( AC \) — биссектриса \( ∠ A \).
• \( ∠ CDA = 60^\circ \).

Найти: площадь трапеции.

Решение:

1. Так как \( ∠ A = 90^\circ \) и \( AC \) — биссектриса, то \( ∠ CAD = ∠ CAB = 45^\circ \).
2. В прямоугольном треугольнике АВС (\( ∠ B = 90^\circ \)) с углом \( ∠ CAB = 45^\circ \) второй острый угол \( ∠ ACB = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
3. Следовательно, треугольник АВС равнобедренный, и \( AB = BC \).
4. В прямоугольном треугольнике АВС, по теореме Пифагора: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \).
5. Так как \( AB = BC \), то \( 6^2 = AB^2 + AB^2 = 2 AB^2 \).
6. \( 36 = 2 AB^2 \)
7. \( AB^2 = 18 \)
8. \( AB = √18 = 3√2 \) см.
9. Значит, \( BC = 3√2 \) см.
10. Так как \( ∠ A = 90^\circ \) и \( ∠ B = 90^\circ \), то АD || BC.
11. В прямоугольном треугольнике АСD (\( ∠ CAD = 45^\circ \)), найдем AD. \( ∠ ACD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
12. В прямоугольном треугольнике АСD, \( \tan(∠ CDA) = \frac{AC}{AD} \).
13. \( \tan(60^\circ) = \frac{3√2}{AD} \)
14. \( √3 = \frac{3√2}{AD} \)
15. \( AD = \frac{3√2}{√3} = \frac{3√6}{3} = √6 \) см.
16. Площадь трапеции равна \( S = \frac{1}{2}(AD + BC) \times AB \).
17. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2}(√6 + 3√2) \times 3√2 \)
18. \( S = \frac{1}{2}(3√12 + 3 \times 2) \)
19. \( S = \frac{1}{2}(3 \times 2√3 + 6) \)
20. \( S = \frac{1}{2}(6√3 + 6) = 3√3 + 3 \) см².

Ответ: \( 3√3 + 3 \) см².