4. В окружности проведены две хорды АВ и СД, пересекающиеся в точке К, КС = 6 см, АК = 8 см, ВК + DK = 28 см. Найдите длины ВК и ДК.

Задание 4. Пересекающиеся хорды

Дано:

• Окружность.
• Хорды АВ и СД пересекаются в точке К.
• \( KC = 6 \) см.
• \( AK = 8 \) см.
• \( BK + DK = 28 \) см.

Найти: длины \( BK \) и \( DK \).

Решение:

1. По свойству пересекающихся хорд, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды: \( AK · BK = CK · DK \).
2. Подставим известные значения: \( 8 · BK = 6 · DK \).
3. Отсюда \( BK = \frac{6 · DK}{8} = \frac{3}{4} DK \).
4. У нас есть система уравнений:
   • \( BK = \frac{3}{4} DK \)
   • \( BK + DK = 28 \)
5. Подставим первое уравнение во второе: \( \frac{3}{4} DK + DK = 28 \).
6. \( \frac{7}{4} DK = 28 \).
7. \( DK = 28 · \frac{4}{7} = 4 · 4 = 16 \) см.
8. Теперь найдем ВК: \( BK = 28 - DK = 28 - 16 = 12 \) см.
9. Проверим: \( 8 · 12 = 96 \) и \( 6 · 16 = 96 \). Условие выполняется.

Ответ: ВК = 12 см, ДК = 16 см.