3. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠C = 15°, BC = 4√6. Найдите длину стороны AC и радиус описанной около треугольника ABC окружности.

Сначала найдём третий угол: \(\angle B=180^\circ-45^\circ-15^\circ=120^\circ\).

По теореме синусов для стороны \(AC\), противолежащей углу B:

\(\frac{AC}{\sin120^\circ}=\frac{BC}{\sin45^\circ}\), поэтому \(AC=4\sqrt6\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=12\).

Радиус описанной окружности находим по формуле \(BC=2R\sin A\):

\(R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{4\sqrt6}{2\cdot\sqrt2/2}=4\sqrt3\).

Ответ: \(AC=12\), \(R=4\sqrt3\).