№3. В треугольнике ABC AC = 9 см, BC = 3√3 см, ∠A = 30°. Найдите угол B. Сколько решений имеет задача?

По теореме синусов:

sin B / AC = sin A / BC, поэтому sin B = 9 · sin 30° / (3√3) = √3/2.

Уравнение sin B = √3/2 даёт значения B = 60° или B = 120°. Но при B = 120° сумма углов A и B уже равна 150°, а третьему углу остаётся 30°. Проверим соответствие заданным сторонам: при A = 30° и B = 120° сторона BC должна быть вдвое больше AC по теореме синусов, тогда как задано BC = 3√3 см, меньше AC = 9 см. Поэтому этот вариант невозможен.

При B = 60° третий угол равен 90°, и стороны согласуются с условием: BC / AC = sin 30° / sin 60° = 1/√3.

Ответ: ∠B = 60°; задача имеет одно решение.