№4. Одна из сторон треугольника на 8 см больше другой, а углы, лежащие против этих сторон, равны соответственно 45° и 30°. Найдите эти стороны треугольника.

Обозначим сторону, лежащую против угла 30°, через x. Сторона против угла 45° на 8 см больше и равна x + 8.

По теореме синусов отношение сторон равно отношению синусов противолежащих углов:

(x + 8) / x = sin 45° / sin 30° = √2.

Отсюда x = 8 / (√2 − 1) = 8(√2 + 1) см, а большая сторона равна 8(2 + √2) см.

Третий угол равен 180° − 45° − 30° = 105°. Если требуется найти и третью сторону, то по теореме синусов она равна 8(√2 + 1) · sin 105° / sin 30° = 4(√2 + 1)(√6 + √2) см.

Ответ: стороны, противолежащие углам 30° и 45°, равны 8(√2 + 1) см и 8(2 + √2) см. Третья сторона равна 4(√2 + 1)(√6 + √2) см.