№ 3. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

Пусть D — основание высоты из B на AC, а биссектриса угла A пересекает BD в точке E. Тогда BE : ED = 13 : 12.

По теореме о биссектрисе в треугольнике ABD: AB : AD = BE : ED = 13 : 12. Пусть AD = 12k, тогда AB = 13k. Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора BD = 5k.

Площадь ABC можно выразить через стороны AB, BC и угол A: S = (1/2) · AB · AC · sin A. Поскольку BD = AB · sin A, получаем S = (1/2) · AC · BD. По формуле радиуса описанной окружности R = AB · BC · AC/(4S), значит R = AB · BC/(2BD).

Подставим известные отношения и BC = 10: R = (13k · 10)/(2 · 5k) = 13.

Ответ: 13.