№ 5. Точка M взята на стороне AC равностороннего треугольника ABC, а на продолжении стороны BC за точку C отмечена точка N, причём BM = MN. Докажите, что AM = CN.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна s, AM = x, а CN = y. Выберем координаты: A(0, 0), C(s, 0), B(s/2, √3s/2). Тогда M(x, 0), а так как N лежит на продолжении BC за C, N(s + y/2, −√3y/2).

Из условия BM = MN следует равенство квадратов расстояний:

BM² = x² − sx + s²,

MN² = (s − x)² + (s − x)y + y².

Приравняем и упростим: sx = (s − x)y + y², то есть y² + (s − x)y − sx = 0. Подстановка y = x обращает левую часть в ноль. Это единственный положительный корень: произведение корней равно −sx < 0, поэтому второй корень отрицателен. Так как CN = y > 0, получаем y = x.

Следовательно, AM = CN.