№ 4. Дана трапеция с основаниями AD = 7, BC = 3, диагональ которой равна 5. Докажите, что такая трапеция не может быть равнобедренной.

Предположим, что трапеция равнобедренная. Тогда её меньшее основание расположено симметрично относительно большего, поэтому проекции боковых сторон на большее основание равны: (7 − 3)/2 = 2.

Горизонтальная проекция диагонали равна половине суммы оснований: (7 + 3)/2 = 5. Диагональ вместе с её проекцией и высотой трапеции образует прямоугольный треугольник. Так как высота трапеции положительна, диагональ строго больше своей проекции, то есть больше 5. Это противоречит условию, что диагональ равна 5.

Следовательно, такая трапеция не может быть равнобедренной.