3. В треугольнике ABC известно, что AC = 10 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB, площадь треугольника и радиус описанной около него окружности.

Сначала найдём угол A: ∠A = 180° − 45° − 30° = 105°.

По теореме синусов:

AB/sin 30° = AC/sin 45°, поэтому AB = 10 · sin 30°/sin 45° = 5√2 см.

Найдём сторону BC по теореме синусов: BC = 10 · sin 105°/sin 45° = 5(√3 + 1) см.

Тогда площадь:

S = ½ · AC · BC · sin 30° = 25(√3 + 1)/2 см².

Радиус описанной окружности: R = AC/(2 sin 45°) = 5√2 см.

Ответ: AB = 5√2 см; S = 25(√3 + 1)/2 см²; R = 5√2 см.