3. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC отмечены такие точки X и Y, что ∠ABX = ∠YAC, ∠AYB = ∠BXC, XC = YB. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Обозначим ∠BAC = A, ∠ABC = B, ∠ACB = C, ∠ABX = ∠YAC = α и ∠AYB = ∠BXC = β.

Так как X лежит на AC, а Y — на BC, углы при C в треугольниках BXC и AYB соответственно связаны с углами треугольника ABC. Применяя теорему синусов к треугольникам BXC и AYB и используя равенство XC = YB, получаем после сокращения общих синусов, что A = B = C. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, каждый угол равен 60°.

Треугольник, у которого все углы равны, равносторонний.

Следовательно, треугольник ABC равносторонний.