3. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС =76, НС =19 и ∠ACB= 80°. Найдите ∠АМВ. Ответ дайте в градусах.

Задание 3

Дано:

• В треугольнике АВС:
• ВМ – медиана
• ВН – высота
• \( AC = 76 \)
• \( HC = 19 \)
• \( \angle ACB = 80^{\circ} \)

Найти: \( \angle AMB \).

Решение:

1. Сначала найдём длину отрезка \( AH \). Так как \( AC = 76 \) и \( HC = 19 \), то \( AH = AC - HC = 76 - 19 = 57 \).
2. В прямоугольном треугольнике \( BHC \), \( \angle BHC = 90^{\circ} \).
3. В прямоугольном треугольнике \( BHA \), \( \angle BHA = 90^{\circ} \).
4. В треугольнике \( BHC \) найдём \( BH \) и \( BC \) через \( \angle ACB = 80^{\circ} \):
\[ BH = HC \cdot \tan(\angle ACB) = 19 \cdot \tan(80^{\circ}) \] (Здесь есть неточность в условии, так как \( \angle ACB \) не может быть 80 градусов, если \( BH \) — высота. Предполагаем, что \( \angle C = 80^{\circ} \) относится к углу при вершине \( C \)).
5. Если \( \angle C = 80^{\circ} \), то в прямоугольном \( \triangle BHC \): \( BH = HC \cdot \tan(80^{\circ}) \).
6. В прямоугольном \( \triangle BHA \): \( AH = 57 \).
7. \( BH = AH \cdot \tan(\angle A) \).
8. Из \( \triangle BHC \): \( BH = 19 \tan(80^{\circ}) \).
9. Из \( \triangle BHA \): \( BH = 57 \tan(\angle A) \).
10. Приравнивая, получаем \( 19 \tan(80^{\circ}) = 57 \tan(\angle A) \), откуда \( \tan(\angle A) = \frac{19 \tan(80^{\circ})}{57} = \frac{\tan(80^{\circ})}{3} \). \( \tan(80^{\circ}) \approx 5.67 \). \( \tan(\angle A) \approx 5.67 / 3 \approx 1.89 \). \( \angle A \approx \arctan(1.89) \approx 62^{\circ} \).
11. \( \angle B = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 62^{\circ} \approx 38^{\circ} \).
12. Так как \( BM \) — медиана, то \( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC = 76 / 2 = 38 \).
13. \( MH = MC - HC = 38 - 19 = 19 \).
14. В прямоугольном \( \triangle BHM \):
\[ \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} \]\[ BH = 19 \tan(80^{\circ}) \approx 19 \times 5.67 = 107.73 \].
15. \( \tan(\angle AMB) = \frac{107.73}{19} \approx 5.67 \).
16. \( \angle AMB = \arctan(5.67) \approx 80^{\circ} \).
17. Примечание: Условие задачи содержит противоречие, так как \( \angle ACB = 80^{\circ} \) и \( HC = 19 \) при \( AC = 76 \) не соответствуют другим данным. Расчёт выше основан на предположении, что \( \angle ACB = 80^{\circ} \) является углом при вершине \( C \). Если \( \angle C \) другой, то решение будет иным.
18. Предположим, что \( \angle C = \alpha \) и \( \angle A = \beta \).
19. \( BH = 19 \tan(\alpha) \)
20. \( BH = 57 \tan(\beta) \)
21. \( 19 \tan(\alpha) = 57 \tan(\beta) \Rightarrow \tan(\alpha) = 3 \tan(\beta) \)
22. \( \alpha + \beta + \angle B = 180^{\circ} \)
23. \( M \) — середина \( AC \). \( AM = 38 \). \( MC = 38 \). \( HC = 19 \). \( MH = |MC - HC| = |38 - 19| = 19 \).
24. В \( \triangle BHM \) (прямоугольном): \( \tan(\angle AMB) = \frac{BH}{MH} = \frac{19 \tan(\alpha)}{19} = \tan(\alpha) \).
25. Следовательно, \( \angle AMB = \angle ACB \).
26. Если \( \angle ACB = 80^{\circ} \) и \( MH = 19 \), тогда \( \angle AMB = 80^{\circ} \).

Ответ: 80