7. Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АB = 10, CD = 25, AC = 56.

Задание 7

Дано:

• \( AB ∥ DC \)
• \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( M \).
• \( AB = 10 \)
• \( CD = 25 \)
• \( AC = 56 \)

Найти: длину отрезка \( MC \).

Решение:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle ABM \) и \( \triangle CDM \).
2. Так как \( AB ∥ DC \), то:
• \( \angle BAM = \angle DCM \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AB \) и \( DC \) и секущей \( AC \)).
• \( \angle ABM = \angle CDM \) (накрест лежащие углы при параллельных \( AB \) и \( DC \) и секущей \( BD \)).
• \( \angle AMB = \angle CMD \) (вертикальные углы).
3. Следовательно, \( \triangle ABM ∼ \triangle CDM \) по трём углам.
4. Отношение соответствующих сторон подобных треугольников равно:
\[ \frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC} = \frac{BM}{MD} \]
5. Подставим известные значения:
\[ \frac{10}{25} = \frac{AM}{MC} \]
6. Упростим отношение: \( \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \).
7. Значит, \( \frac{AM}{MC} = \frac{2}{5} \).
8. Отрезок \( AC = AM + MC \).
9. Пусть \( AM = 2x \) и \( MC = 5x \).
10. Тогда \( AC = 2x + 5x = 7x \).
11. Нам дано, что \( AC = 56 \).
12. \( 7x = 56 \)
13. \( x = \frac{56}{7} = 8 \).
14. Теперь найдём \( MC \):
\[ MC = 5x = 5 \cdot 8 = 40 \]

Ответ: 40