3. В треугольнике заданы две стороны и угол, противолежащий одной из них. Найдите остальные углы и сторону треугольника, если: 1) a = 34, b = 12, α = 164°; 2) a = 2, b = 4, α = 60°; 3) a = 6, b = 8, α = 30°.

Применяем теорему синусов: sin β = b · sin α / a. В случае SSA могут существовать два решения, поэтому проверяем оба значения β, если они возможны.

1. sin β = 12 · sin 164° / 34 ≈ 0,0973, поэтому β ≈ 5,6°. Второе значение синуса невозможно, поскольку α уже тупой. γ = 180° − 164° − 5,6° ≈ 10,4°.

   По теореме синусов c = 34 · sin γ / sin 164° ≈ 21,2.

2. sin β = 4 · sin 60° / 2 ≈ 1,73. Синус угла не может быть больше 1, поэтому такого треугольника не существует.

3. sin β = 8 · sin 30° / 6 = 2/3. Возможны β₁ ≈ 41,8° и β₂ ≈ 138,2°.

   При β₁: γ₁ = 180° − 30° − 41,8° ≈ 108,2°, c₁ = 6 · sin 108,2° / sin 30° ≈ 11,4.

   При β₂: γ₂ = 180° − 30° − 138,2° ≈ 11,8°, c₂ = 6 · sin 11,8° / sin 30° ≈ 2,5.

Ответ: 1) β ≈ 5,6°, γ ≈ 10,4°, c ≈ 21,2; 2) треугольника не существует; 3) два решения: β ≈ 41,8°, γ ≈ 108,2°, c ≈ 11,4 или β ≈ 138,2°, γ ≈ 11,8°, c ≈ 2,5.