3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки M, N, T и K являются соответственно серединами сторон AB, BC, CD и AD. Известно, что NK — биссектриса угла MNT. Докажите, что MN = NT = TK = KM.

По теореме о средней линии треугольника ABC имеем \(MN\parallel AC\) и \(MN=AC/2\). В треугольнике ADC отрезок TK — средняя линия, поэтому \(TK\parallel AC\) и \(TK=AC/2\). Аналогично, \(NT\parallel BD\), \(NT=BD/2\), \(KM empty\) — нет: в треугольнике ABD отрезок MK является средней линией, значит \(MK\parallel BD\) и \(MK=BD/2\).

Таким образом, MN и TK параллельны и равны, как и NT и MK; следовательно, MNTK — параллелограмм. В нём NK — диагональ, которая по условию делит угол MNT пополам. По теореме о биссектрисе диагонали параллелограмма, если она делит угол пополам, параллелограмм является ромбом. Поэтому все его стороны равны.

Доказано: \(MN=NT=TK=KM\).