4. Трапеция ABCD — равнобедренная, M и N — середины ее боковых сторон AB и CD соответственно. Диагональ AC пересекает отрезок MN в точке K, MK = 3, KN = 5. Диагональ BD пересекает MN в точке P. Высота трапеции равна 8. Найдите: а) длину отрезка KP; б) величину угла ADB; в) отношение DP : PB.

Пусть основания AD и BC горизонтальны, а расстояние между ними равно 8. Обозначим их длины через \(d\) и \(b\). Средняя линия трапеции имеет длину \((d+b)/2=MK+KN=8\), значит \(d+b=16\).

Точка K — середина диагонали AC по высоте: середняя линия пересекает диагональ на половине её высоты. Поэтому \(MK=b/2=3\), откуда \(b=6\); также \(KN=d/2=5\), откуда \(d=10\).

В равнобедренной трапеции горизонтальное смещение боковой стороны равно \((d-b)/2=2\). На уровне средней линии точка P находится на расстоянии 2 от K, поэтому \(KP=2\).

Для угла ADB рассмотрим прямоугольный треугольник с вертикальным катетом 8 и горизонтальным катетом 8: горизонтальная проекция DB равна половине суммы оснований за вычетом смещения, то есть \((d+b)/2-2=6\)? Это не соответствует координатам: при основаниях 10 и 6 боковое смещение равно 2, отрезок DB имеет горизонтальный катет 8. Тогда \(\tan\angle ADB=8/8=1\), поэтому угол равен 45°.

Диагонали равнобедренной трапеции пересекают её среднюю линию в точках, симметричных относительно середины этой линии. Здесь P и K располагаются на расстоянии 2 друг от друга; кроме того, диагональ BD пересекает среднюю линию на половине высоты, следовательно, P — середина BD. Значит, \(DP=PB\).

Ответ: а) \(KP=2\); б) \(\angle ADB=45°\); в) \(DP:PB=1:1\).