3. Вариант 1: Срединный перпендикуляр, проведённый к диагонали прямоугольника, делит его сторону на части, одна из которых вдвое меньше другой. Определите углы, на которые диагональ делит угол прямоугольника. Вариант 2: Диагональ прямоугольника равна меньшей стороне прямоугольника. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.

Вариант 1. Обозначим большую сторону прямоугольника через a, меньшую — через b. Рассмотрим диагональ и её срединный перпендикуляр, пересекающий большую сторону. В координатах вершины прямоугольника можно задать точками (0,0), (a,0), (a,b), (0,b). Середина диагонали имеет координаты (a/2,b/2), а точка пересечения срединного перпендикуляра со стороной лежит на расстоянии \(\frac{a^2+b^2}{2a}\) от её конца.

Длины двух частей стороны равны \(\frac{a^2+b^2}{2a}\) и \(\frac{a^2-b^2}{2a}\). Первая больше, поэтому по условию она вдвое больше второй: \(\frac{a^2+b^2}{2a}\)=2\(\cdot\)\(\frac{a^2-b^2}{2a}\). Отсюда a^2=3b^2, то есть \(\frac{b}{a}\)=\(\frac{1}{\sqrt3}\). Для угла \(\alpha\) между диагональю и большей стороной \(\tan\)\(\alpha\)=b/a=1/\(\sqrt\)3, следовательно, \(\alpha\)=30°. Второй угол прямоугольника равен 90°-30°=60°.

Ответ: 30° и 60°.

Вариант 2. Такого прямоугольника не существует: его диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а потому строго больше каждой стороны. Следовательно, угол между диагоналями определить нельзя.

Ответ: условие варианта 2 невыполнимо; диагональ не может равняться меньшей стороне прямоугольника.