3. Векторы единичной длины \(\vec a\), \(\vec b\) и \(\vec c\) образуют попарно угла в \(60^\circ\). Найдите угол \(\varphi\) между векторами \(\vec a\) и \(\vec b+\vec c\).

Так как векторы единичные, \(|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1\). По условию \(\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=\frac12\), поэтому \(\vec a\cdot(\vec b+\vec c)=1\).

Найдём длину суммы: \(|\vec b+\vec c|^2=1+1+2\cos60^\circ=3\), значит, \(|\vec b+\vec c|=\sqrt3\).

Тогда \(\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot(\vec b+\vec c)}{|\vec a||\vec b+\vec c|}=\frac1{\sqrt3}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac1{\sqrt3}\approx54.7^\circ\).