3. Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Поясните.

Решение:

Утверждение верно.

Пояснение:

Пусть даны две прямые a и b, и третья прямая c. Известно, что a ⊥ c и b ⊥ c.

Рассмотрим плоскость α, которая проходит через прямую c и перпендикулярна к ней. По определению, такая плоскость существует и единственна.

Так как прямая a перпендикулярна прямой c, то прямая a либо лежит в плоскости α, либо пересекает плоскость α в той же точке, что и прямая c.

Аналогично, так как прямая b перпендикулярна прямой c, то прямая b либо лежит в плоскости α, либо пересекает плоскость α в той же точке, что и прямая c.

Случай 1: Обе прямые a и b пересекают плоскость α в одной и той же точке, где пересекаются c и α. В этом случае a и b лежат в плоскости, перпендикулярной c, и обе перпендикулярны c. Это означает, что a и b параллельны между собой (если они не совпадают).

Случай 2: Одна из прямых (например, a) лежит в плоскости α, а другая (b) пересекает плоскость α в точке, отличной от точки пересечения c и α. Это невозможно, так как прямая b должна быть перпендикулярна c. Если b пересекает α в другой точке, то она не может быть перпендикулярна c, так как c лежит в α (или пересекает α в другой точке).

Случай 3: Обе прямые a и b лежат в плоскости α. Так как они обе перпендикулярны прямой c, которая перпендикулярна к плоскости α, то a и b параллельны между собой (если они не совпадают).

Геометрическое пояснение:

Представьте себе столб (прямая c), стоящий на полу (плоскость α). Любая прямая, лежащая на полу и проходящая через основание столба, будет перпендикулярна этому столбу. Если у вас есть две такие прямые на полу, они будут параллельны друг другу.

Ответ: Утверждение верно.