4. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6 см, а диагональ боковой грани 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Решение:

Дано:

• Правильная треугольная призма.
• Сторона основания \( a = 6 \) см.
• Диагональ боковой грани \( d = 10 \) см.

Найти:

• Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \).
• Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

1. Найдём высоту призмы (h):

Диагональ боковой грани, сторона основания и высота призмы образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

\[ d^2 = a^2 + h^2 \]\[ 10^2 = 6^2 + h^2 \]\[ 100 = 36 + h^2 \]\[ h^2 = 100 - 36 \]\[ h^2 = 64 \]\[ h = \sqrt{64} = 8 \] см.

2. Найдём площадь боковой поверхности (S_бок):

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту:

\[ S_{бок} = P_{осн} \cdot h \]\[ P_{осн} = 3 \cdot a = 3 \cdot 6 = 18 \] см.

\[ S_{бок} = 18 \cdot 8 = 144 \] см².

3. Найдём площадь основания (S_осн):

Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]\[ S_{осн} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \] см².

4. Найдём площадь полной поверхности (S_полн):

Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \]\[ S_{полн} = 144 + 2 \cdot 9 \sqrt{3} \]\[ S_{полн} = 144 + 18 \sqrt{3} \] см².

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 144 см², а площадь полной поверхности — (144 + 18\(\sqrt{3}\)) см².