3. Вершины ABCD делят окружность в отношении 1:2:5:4. Найти углы этого четырехугольника ABCD.

Дано: Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Отношение дуг AB:BC:CD:DA = 1:2:5:4.

Найти: Углы четырехугольника ABCD (∠A, ∠B, ∠C, ∠D).

Решение:

1. Общая сумма частей: 1 + 2 + 5 + 4 = 12 частей.
2. Полная окружность: Вся окружность составляет 360°.
3. Величина одной части: 360° / 12 = 30°.
4. Находим величины дуг:
   • Дуга AB = 1 * 30° = 30°.
   • Дуга BC = 2 * 30° = 60°.
   • Дуга CD = 5 * 30° = 150°.
   • Дуга DA = 4 * 30° = 120°.
5. Находим углы четырехугольника: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Угол A (∠A): Опирается на дугу BCD. Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD = 60° + 150° = 210°. ∠A = 210° / 2 = 105°.
• Угол B (∠B): Опирается на дугу CDA. Дуга CDA = Дуга CD + Дуга DA = 150° + 120° = 270°. ∠B = 270° / 2 = 135°.
• Угол C (∠C): Опирается на дугу DAB. Дуга DAB = Дуга DA + Дуга AB = 120° + 30° = 150°. ∠C = 150° / 2 = 75°.
• Угол D (∠D): Опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 30° + 60° = 90°. ∠D = 90° / 2 = 45°.
6. Проверка: Сумма углов четырехугольника должна быть 360°. 105° + 135° + 75° + 45° = 360°.

Ответ: Углы четырехугольника ABCD равны ∠A = 105°, ∠B = 135°, ∠C = 75°, ∠D = 45°.