4. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найти радиус этой окружности.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC (AB = AC).
• Основание BC = 12 см.
• Периметр P = 32 см.
• Вписанная окружность.

Найти: Радиус вписанной окружности (r).

Решение:

1. Находим длину боковой стороны: Периметр P = AB + AC + BC. Так как AB = AC, то P = 2 * AB + BC.
2. Вычисление: 32 = 2 * AB + 12.
3. Находим 2 * AB: 2 * AB = 32 - 12 = 20 см.
4. Находим AB (и AC): AB = 20 / 2 = 10 см.
5. Находим высоту треугольника: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, делит его пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник (например, ABD, где D — середина BC). Катеты: BD = BC / 2 = 12 / 2 = 6 см, и высота h (AD). Гипотенуза: AB = 10 см.
6. Используем теорему Пифагора: AB² = BD² + AD².
7. Вычисление: 10² = 6² + h².
8. Находим h²: 100 = 36 + h².
9. Находим h: h² = 100 - 36 = 64. h = √64 = 8 см.
10. Находим площадь треугольника (S): S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * BC * h = (1/2) * 12 * 8 = 48 см².
11. Связь площади, периметра и радиуса вписанной окружности: Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности: S = p * r, где p = P / 2.
12. Находим полупериметр (p): p = 32 / 2 = 16 см.
13. Находим радиус (r): r = S / p = 48 / 16 = 3 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 3 см.