3) Вершины ДАВС имеют координаты: А(-2; 0; 1), B(-1; 2; 3), C(8; -4; 9). Определите вид треугольника и найдите координаты вектора ВМ, если ВМ – медиана ДАВС.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

1. Определение вида треугольника:

Найдем длины сторон треугольника:
\( AB = \sqrt{(-1 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)
\( BC = \sqrt{(8 - (-1))^2 + (-4 - 2)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{9^2 + (-6)^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} \)
\( AC = \sqrt{(8 - (-2))^2 + (-4 - 0)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{10^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} \)
Так как \( AB^2 + BC^2 = 3^2 + (\sqrt{153})^2 = 9 + 153 = 162 \) и \( AC^2 = (\sqrt{180})^2 = 180 \), то \( AB^2 + BC^2 \neq AC^2 \).
Также \( AB^2 + AC^2 = 9 + 180 = 189 \) и \( BC^2 = 153 \).
Также \( BC^2 + AC^2 = 153 + 180 = 333 \) и \( AB^2 = 9 \).
Поскольку длины сторон различны, треугольник является разносторонним.

2. Нахождение координат вектора ВМ:

M — середина стороны AC. Найдем координаты точки M:
\( M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}; \frac{z_A + z_C}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 8}{2}; \frac{0 + (-4)}{2}; \frac{1 + 9}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}; \frac{-4}{2}; \frac{10}{2} \right) = (3; -2; 5) \)
Теперь найдем координаты вектора \( \vec{BM} \):
\( \vec{BM} = (x_M - x_B; y_M - y_B; z_M - z_B) = (3 - (-1); -2 - 2; 5 - 3) = (4; -4; 2) \)

Ответ: Треугольник АВС — разносторонний. Координаты вектора ВМ: (4; -4; 2).