5). Найдите угол между прямыми АВ и CD, если А(3; -1; 3), B(3; -2; 2), C(2; 2; 3) и D(1; 2; 2).

Решение:

• Шаг 1: Найдем направляющие векторы прямых AB и CD.
• Вектор \( \vec{AB} \):
• \( \vec{AB} = (3 - 3; -2 - (-1); 2 - 3) = (0; -1; -1) \)
• Вектор \( \vec{CD} \):
• \( \vec{CD} = (1 - 2; 2 - 2; 2 - 3) = (-1; 0; -1) \)
• Шаг 2: Найдем скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \).
• \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (0)(-1) + (-1)(0) + (-1)(-1) = 0 + 0 + 1 = 1 \)
• Шаг 3: Найдем длины векторов \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{CD}| \).
• \( |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2} \)
• \( |\vec{CD}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \)
• Шаг 4: Найдем косинус угла между векторами по формуле \( \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \).
• \( \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \)
• Шаг 5: Найдем угол \( \theta \).
• \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ} \)

Ответ: Угол между прямыми AB и CD равен 60°.