3. Внутри квадрата ABCD отмечены точки E и F так, что ABE и ADF — равносторонние треугольники. Докажите, что треугольник CEF также является равносторонним.

Пусть сторона квадрата равна a. Возьмём координаты A=(0,0), B=(a,0), D=(0,a), C=(a,a). Так как ABE и ADF — равносторонние треугольники внутри квадрата, E=(√3a/2,a/2), F=(a/2,√3a/2).

Вычислим квадраты длин:

\(CE^2=(a-\frac{\sqrt3a}{2})^2+(a-\frac a2)^2=a^2(2-\sqrt3)\).

Аналогично, \(CF^2=a^2(2-\sqrt3)\). Кроме того, координатные разности для EF равны по модулю \(a(\sqrt3-1)/2\), поэтому \(EF^2=2\left(\frac{a(\sqrt3-1)}2\right)^2=a^2(2-\sqrt3)\).

Значит, \(CE=CF=EF\), и треугольник CEF равносторонний.