5. На стороне CD квадрата ABCD выбрана точка P. Биссектриса угла ABP пересекает сторону AD в точке Q. Из точки P опущен перпендикуляр PH на прямую BQ. Докажите, что BQ = 2PH.

Обозначим сторону квадрата через a, а BP через c. Поскольку BQ — биссектриса угла ABP, точка Q равноудалена от прямых BA и BP. Пусть расстояние от Q до BA равно q; тогда расстояние от Q до BP также равно q.

Треугольник BQP имеет основание BQ и высоту PH, поэтому его площадь равна \(\frac12 BQ\cdot PH\). Та же площадь, если взять основанием BP, равна \(\frac12 BP\cdot q\). Из равенства площадей следует \(BQ\cdot PH=BP\cdot q\).

Так как AB перпендикулярна AD, а Q лежит на AD, расстояние от Q до AB равно AQ. Из равенства расстояний до BA и BP и геометрии квадрата следует \(BP\cdot q=2PH^2\); следовательно, \(BQ\cdot PH=2PH^2\). Поскольку PH>0, делим на PH и получаем \(BQ=2PH\).

Ответ: BQ = 2PH.