4. На каждой стороне квадрата ABCD лежит по вершине четырёхугольника KLMN (см. рисунок). (а) Докажите, что если диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны, то они равны. (б) Верно ли обратное утверждение?

Пусть сторона квадрата равна 1. Зададим координаты вершин: A=(0,0), B=(0,1), C=(1,1), D=(1,0), K=(0,k), L=(l,1), M=(1,m), N=(n,0), где k,l,m,n лежат между 0 и 1.

(а) Направляющие векторы диагоналей KM и LN: (1,m−k) и (n−l,−1). Перпендикулярность означает, что их скалярное произведение равно нулю: \(n-l-(m-k)=0\), то есть \(n-l=m-k\). Поэтому \(KM^2=1+(m-k)^2=1+(n-l)^2=LN^2\), следовательно, KM=LN.

(б) Нет. Например, возьмём k=0.2, m=0.6, l=0.6, n=0.2. Тогда \(|m-k|=|n-l|=0.4\), поэтому диагонали равны. Но скалярное произведение их направляющих векторов равно −0.8, а не нулю, следовательно, диагонали не перпендикулярны.

Ответ: (а) диагонали равны; (б) обратное утверждение неверно.