№ 3. Вычислить скалярное произведение векторов \(\vec m\) и \(\vec n\), если \(\vec m=2\vec a-\vec b+\vec c\), \(\vec n=\vec a-2\vec b\), \(|\vec a|=3\), \(|\vec b|=2\), угол между \(\vec a\) и \(\vec b\) равен 60°, \(\vec c\perp\vec a\), \(\vec c\perp\vec b\).

Так как \(\vec c\) перпендикулярен и \(\vec a\), и \(\vec b\), то \(\vec c\cdot(\vec a-2\vec b)=0\). Поэтому

\(\vec m\cdot\vec n=(2\vec a-\vec b)\cdot(\vec a-2\vec b)=2|\vec a|^2-5(\vec a\cdot\vec b)+2|\vec b|^2.\)

Сначала найдём \(\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos60^\circ=3\cdot2\cdot\frac12=3\). Тогда

\(\vec m\cdot\vec n=2\cdot9-5\cdot3+2\cdot4=18-15+8=11.\)

Ответ: 11.