№ 4. ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб. Найти угол между прямыми AB₁ и A₁D.

Пусть ребро куба равно \(s\), а координаты вершин заданы так: \(A(0;0;0)\), \(B(s;0;0)\), \(D(0;s;0)\), \(A_1(0;0;s)\), \(B_1(s;0;s)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB_1}=(s;0;s)\) и \(\overrightarrow{A_1D}=(0;s;-s)\). Их скалярное произведение равно \(-s^2\), а длины равны \(s\sqrt2\).

Угол между прямыми берём острым: \(\cos\varphi=\frac{|{-s^2}|}{(s\sqrt2)(s\sqrt2)}=\frac12\), поэтому \(\varphi=60^\circ\). (Угол между выбранными направленными векторами равен \(120^\circ\), но угол между прямыми — \(60^\circ\).)

Ответ: \(60^\circ\).