3). Вычислите: 710.78 715; α) 46.16 6) 84

Задание 3. Вычисление дробей

Привет! Давай разберемся с этими дробями.

Подпункт а)

Выражение:

\[ \frac{7^{10} \cdot 7^8}{7^{15}} \]

Шаг 1: Используем свойство степеней с одинаковым основанием.

При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: am \(\cdot\) an = am+n.

\[ \frac{7^{10+8}}{7^{15}} = \frac{7^{18}}{7^{15}} \]

Шаг 2: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием.

При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: am / an = am-n.

\[ 7^{18-15} = 7^3 \]

Шаг 3: Вычисляем результат.

\[ 7^3 = 7 \times 7 \times 7 = 49 \times 7 = 343 \]

Ответ: 343.

Подпункт б)

Выражение:

\[ \frac{7^{15} \cdot 16}{4^6 \cdot 8^4} \]

Шаг 1: Представим числа в виде степеней одного основания.

Заметим, что 16, 4 и 8 можно представить как степени двойки:

• 16 = 2^4
• 4 = 2^2
• 8 = 2^3

Подставим это в наше выражение:

\[ \frac{7^{15} \cdot 2^4}{(2^2)^6 \cdot (2^3)^4} \]

Шаг 2: Упростим степени в знаменателе.

Используем свойство степени с показателем степени: (am)n = am \(\cdot\) n.

• (2^2)^6 = 2^{2 \(\cdot\) 6} = 2^{12}
• (2^3)^4 = 2^{3 \(\cdot\) 4} = 2^{12}

Теперь выражение выглядит так:

\[ \frac{7^{15} \cdot 2^4}{2^{12} \cdot 2^{12}} \]

Шаг 3: Упростим знаменатель.

2^{12} \(\cdot\) 2^{12} = 2^{12+12} = 2^{24}

\[ \frac{7^{15} \cdot 2^4}{2^{24}} \]

Шаг 4: Сократим степени двойки.

\[ 7^{15} \cdot 2^{4-24} = 7^{15} \cdot 2^{-20} = \frac{7^{15}}{2^{20}} \]

По условию было 715, а не 710. Извините за опечатку в условии.

Пересчитаем с правильными данными:

Выражение:

\[ \frac{7^{10} \cdot 7^8}{7^{15}} \]

Шаг 1: Сложим показатели в числителе.

\[ \frac{7^{10+8}}{7^{15}} = \frac{7^{18}}{7^{15}} \]

Шаг 2: Вычтем показатели.

\[ 7^{18-15} = 7^3 \]

Шаг 3: Вычислим.

\[ 7^3 = 343 \]

Ответ: 343.

Возвращаясь к подпункту б)

Выражение:

\[ \frac{7^{15} \cdot 16}{4^6 \cdot 8^4} \]

Шаг 1: Представим числа в виде степеней двойки.

• 16 = 2^4
• 4 = 2^2
• 8 = 2^3

Подставляем:

\[ \frac{7^{15} \cdot 2^4}{(2^2)^6 \cdot (2^3)^4} = \frac{7^{15} \cdot 2^4}{2^{12} \cdot 2^{12}} \]

Шаг 2: Упростим знаменатель.

\[ \frac{7^{15} \cdot 2^4}{2^{24}} \]

Шаг 3: Сократим степени двойки.

\[ 7^{15} \cdot 2^{4-24} = 7^{15} \cdot 2^{-20} = \frac{7^{15}}{2^{20}} \]

В таком виде ответ оставить можно, если не требуется числовое значение.

Ответ:
\( \frac{7^{15}}{2^{20}} \)