3). Вычислите: a) 5⁸ · 5⁷ / б) 5¹² / 2⁵ · 8 4³

Задание 3. Вычислите

а) 5⁸ · 5⁷

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели степеней складываются:

\[ 5^8 \cdot 5^7 = 5^{8+7} = 5^{15} \]

Ответ: 5¹⁵

б) 5¹² / (2⁵ · 8) / 4³

Сначала упростим знаменатель дроби. Заметим, что 8 и 4 можно представить как степени двойки:

\[ 8 = 2^3 \]

\[ 4 = 2^2 \]

Теперь подставим это в знаменатель:

\[ 2^5 \cdot 8 = 2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8 \]

И знаменатель второй дроби:

\[ 4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \]

Теперь вся дробь выглядит так:

\[ \frac{5^{12}}{2^8} \div \frac{2^6}{?} \]

Кажется, что в задании есть небольшая неясность. Предположим, что дробь имеет вид: \( \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} \) и нужно вычислить \( \frac{5^{12}}{2^8} \).

Если же это две отдельные дроби, то:

Первая дробь:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} = \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 2^3} = \frac{5^{12}}{2^8} \]

Вторая дробь:

\[ \frac{4^3}{?} \]

Если задача была в следующем:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} : \frac{4^3}{1} \]

Тогда:

\[ \frac{5^{12}}{2^8} : 4^3 = \frac{5^{12}}{2^8} \div (2^2)^3 = \frac{5^{12}}{2^8} \div 2^6 = \frac{5^{12}}{2^8 \cdot 2^6} = \frac{5^{12}}{2^{14}} \]

Предположим, что имелось в виду:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8 \cdot 4^3} \]

Тогда:

\[ \frac{5^{12}}{2^8 \cdot 2^6} = \frac{5^{12}}{2^{14}} \]

Если задача была:

а) 5⁸ · 5⁷ = 5¹⁵

б) Вычислить:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} \]

\[ \frac{5^{12}}{32 \cdot 8} = \frac{5^{12}}{256} \]

Или:

\[ \frac{5^{12}}{4^3} \]

\[ \frac{5^{12}}{64} \]

Если задача звучала так:

б) Вычислить: \( \frac{5^{12}}{2^5} \cdot \frac{8}{4^3} \)

\[ \frac{5^{12}}{32} \cdot \frac{8}{64} = \frac{5^{12}}{32} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5^{12}}{256} \]

Если имелось в виду:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} \quad \text{и} \quad \frac{4^3}{?} \]

Без точной формулировки пункта б) невозможно дать однозначный ответ.

Исходя из наиболее вероятной интерпретации, где нужно вычислить две отдельные дроби:

а) 5⁸ · 5⁷ = 5¹⁵

б) 5¹² / (2⁵ · 8) = 5¹² / 256

4³ / (неизвестно)

Наиболее вероятный вариант для пункта б), если это одна дробь:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8 \cdot 4^3} = \frac{5^{12}}{32 \cdot 8 \cdot 64} = \frac{5^{12}}{256 \cdot 64} = \frac{5^{12}}{16384} \]

Или, если это деление дробей:

\[ \frac{5^{12}}{2^5 \cdot 8} : \frac{4^3}{1} = \frac{5^{12}}{256} : 64 = \frac{5^{12}}{256 \cdot 64} = \frac{5^{12}}{16384} \]

Ответ: а) 5¹⁵; б) (неопределённо, но вероятно) 5¹²/256 или 5¹²/16384