3. Вычислите: а) 7^2 ⋅ 7^11 / 7^13; б) 5^6 ⋅ 125 / 25^4

Решение:

а) Вычисление:

1. Используем свойство степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
• \( \frac{7^2 \cdot 7^{11}}{7^{13}} = \frac{7^{2+11}}{7^{13}} = \frac{7^{13}}{7^{13}} = 7^{13-13} = 7^0 = 1 \)

б) Вычисление:

1. Представим числа 125 и 25 как степени числа 5: \( 125 = 5^3 \), \( 25 = 5^2 \).
2. Подставим в выражение:
• \( \frac{5^6 \cdot 125}{25^4} = \frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4} \)
• Используем свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
• \( \frac{5^6 \cdot 5^3}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^6 \cdot 5^3}{5^8} \)
• Используем свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
• \( \frac{5^{6+3}}{5^8} = \frac{5^9}{5^8} = 5^{9-8} = 5^1 = 5 \)

Ответ: а) 1; б) 5.