3. Вычислите: a) C₈²; б) C₈³; в) C₈⁶; г) C₁₈¹⁷; д) C₄₉⁴⁹.

Решение:

Используем формулу для числа сочетаний без повторений: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

а) C₈²

\( C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \).

б) C₈³

\( C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56 \).

в) C₈⁶

Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \).

\( C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2 = 28 \).

г) C₁₈¹⁷

Используем свойство \( C_n^k = C_n^{n-k} \).

\( C_{18}^{17} = C_{18}^{18-17} = C_{18}^1 = 18 \).

д) C₄₉⁴⁹

По определению, \( C_n^n = 1 \).

\( C_{49}^{49} = 1 \).

Ответ: а) 28; б) 56; в) 28; г) 18; д) 1.